Les Fondamentaux de l’IT — Chapitre 1 : Algèbre de Boole

Partie 1 — Introduction à l’algèbre de Boole

Cours — Fondements théoriques

L’algèbre de Boole est un système mathématique utilisé pour représenter et manipuler des informations logiques. Elle est particulièrement importante en informatique et en électronique numérique, car les systèmes numériques travaillent naturellement avec deux états.

Ces deux états sont généralement représentés par 0 et 1. Selon le contexte, ils peuvent correspondre à faux/vrai, éteint/allumé, absence/présence d’un signal ou niveau logique bas/haut.

L’algèbre de Boole permet notamment de :

modéliser des conditions logiques ;
combiner plusieurs conditions ;
décrire le comportement de circuits numériques ;
simplifier des fonctions logiques ;
préparer la conception de circuits électroniques et de systèmes informatiques.

Exemple : Un ordinateur peut prendre une décision à partir de plusieurs conditions. Par exemple, l’accès à une ressource peut être autorisé si une carte est valide ET si un code est correct. Chaque condition peut être représentée par une variable booléenne.

Exercice : Donner une représentation booléenne pour les situations suivantes :

Une machine fonctionne lorsque son alimentation est active.
Une alarme est déclenchée lorsque la porte est ouverte.
Une opération est autorisée lorsque deux conditions sont simultanément vraies.

Partie 2 — Variables et valeurs booléennes

Cours — Fondements théoriques

Une variable booléenne est une variable qui ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1. On utilise généralement des lettres comme A, B ou X pour désigner ces variables.

Valeur	Interprétation logique	Exemples physiques
0	Faux	Éteint, absent, désactivé
1	Vrai	Allumé, présent, activé

Une variable peut représenter une condition. Par exemple, si A représente « la porte est ouverte », alors A=1 signifie que la porte est ouverte et A=0 qu’elle ne l’est pas.

Exemple : Soit V la variable « le véhicule est en marche ».

V=1 : le véhicule est en marche.
V=0 : le véhicule est arrêté.

Exercice : On définit P : « la présence d’un étudiant est détectée » et C : « la carte d’accès est valide ». Déterminer les valeurs possibles de P et C et expliquer leur signification.

Partie 3 — Opérateur logique NON

Cours — Fondements théoriques

L’opérateur NON réalise une inversion logique. Il transforme 0 en 1 et 1 en 0. Il est souvent noté par une barre au-dessus de la variable, par ¬A ou NOT A.

¬A = NOT(A)

A	¬A
0	1
1	0

Exemple : Si A signifie « la porte est ouverte », alors ¬A signifie « la porte n’est pas ouverte ». Si A=1, alors ¬A=0.

Exercice : Compléter les valeurs de ¬A pour A=0 puis A=1. Interpréter le résultat dans le contexte d’une machine activée/désactivée.

Partie 4 — Opérateur logique ET

Cours — Fondements théoriques

L’opérateur ET produit 1 uniquement lorsque toutes ses entrées valent 1. Il est noté A · B, AB ou A AND B.

S = A · B

A	B	A · B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Exemple : Une porte électronique s’ouvre si BadgeValide=1 ET CodeCorrect=1. L’ouverture est donc :

O = B · C

Exercice : Soient A=1 et B=0. Calculer A·B. Faire ensuite le même calcul pour A=1 et B=1.

Partie 5 — Opérateur logique OU

Cours — Fondements théoriques

L’opérateur OU produit 1 lorsqu’au moins une de ses entrées vaut 1. Il est noté A + B ou A OR B.

S = A + B

A	B	A + B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Exemple : Une alarme peut être déclenchée si un capteur de fumée est actif OU si un capteur de température est actif :

Alarme = F + T

Exercice : Évaluer A+B pour les quatre combinaisons possibles de A et B, puis comparer le résultat avec la table de vérité du ET.

Partie 6 — Expressions et fonctions booléennes

Cours — Fondements théoriques

Une expression booléenne combine des variables et des opérateurs logiques pour produire une valeur 0 ou 1. Une fonction booléenne associe à chaque combinaison d’entrées une sortie booléenne.

Par exemple :

S = A · B + C

Cette expression signifie que la sortie S est vraie si A et B sont vrais, ou si C est vrai.

Exemple : Un système autorise une opération si l’utilisateur est administrateur (A) ou si l’utilisateur possède une autorisation spéciale (S) :

Autorisation = A + S

Exercice : Traduire les phrases suivantes en expressions booléennes :

La sortie est active si A et B sont actifs.
La sortie est active si A ou B est actif.
La sortie est active si A est actif et B n’est pas actif.

Partie 7 — Priorité et évaluation des opérateurs

Cours — Fondements théoriques

Pour éviter les ambiguïtés, les opérateurs booléens suivent une priorité usuelle :

NON est prioritaire ;
ET est ensuite évalué ;
OU est évalué en dernier.

Les parenthèses permettent de modifier explicitement l’ordre de calcul.

A + B · C

est interprétée comme A + (B·C), et non comme (A+B)·C.

Exemple : Pour A=0, B=1, C=1 :

A + B·C = 0 + (1·1) = 1

Exercice : Calculer les expressions suivantes :

1 + 0·1
¬1 + 1·0
(1+0)·1

Partie 8 — Tables de vérité

Cours — Fondements théoriques

Une table de vérité présente le résultat d’une fonction booléenne pour toutes les combinaisons possibles de ses variables d’entrée.

Pour n variables, il existe 2ⁿ combinaisons possibles. Ainsi :

1 variable → 2 combinaisons ;
2 variables → 4 combinaisons ;
3 variables → 8 combinaisons ;
4 variables → 16 combinaisons.

Exemple : Construisons la table de vérité de S=A·B+C.

A	B	C	A·B	S=A·B+C
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	0
0	1	1	0	1
1	0	0	0	0
1	0	1	0	1
1	1	0	1	1
1	1	1	1	1

Exercice : Construire la table de vérité de S=A+B, puis celle de S=¬A·B.

Partie 9 — Propriétés fondamentales de l’algèbre de Boole

Cours — Fondements théoriques

Les principales propriétés utiles à la manipulation des expressions booléennes sont :

Propriété	ET	OU
Identité	A·1=A	A+0=A
Domination	A·0=0	A+1=1
Idempotence	A·A=A	A+A=A
Complémentarité	A·¬A=0	A+¬A=1
Commutativité	A·B=B·A	A+B=B+A
Associativité	(A·B)·C=A·(B·C)	(A+B)+C=A+(B+C)
Distributivité	A·(B+C)=A·B+A·C	A+B·C=(A+B)(A+C)

Exemple : Simplifions :

A + A·B

En utilisant la loi d’absorption :

A + A·B = A

Exercice : Simplifier :

A·1
A+0
A·¬A
A+A
A+A·B

Partie 10 — Lois de De Morgan

Cours — Fondements théoriques

Les lois de De Morgan permettent de transformer une négation portant sur une combinaison logique. Elles sont essentielles pour simplifier les expressions et comprendre les circuits logiques.

¬(A·B) = ¬A + ¬B

¬(A+B) = ¬A · ¬B

En pratique :

la négation d’un ET devient un OU des négations ;
la négation d’un OU devient un ET des négations.

Exemple :

¬(A·B) = ¬A + ¬B

Si A signifie « carte valide » et B « code correct », alors « il n’est pas vrai que la carte est valide ET que le code est correct » équivaut à « la carte n’est pas valide OU le code n’est pas correct ».

Exercice : Appliquer les lois de De Morgan pour transformer :

¬(A+B)
¬(A·B)
¬(A+B+C)

Partie 11 — Simplification des expressions booléennes

Cours — Fondements théoriques

La simplification consiste à obtenir une expression logiquement équivalente, mais plus simple. Une expression simplifiée peut nécessiter moins d’opérateurs et donc conduire à un circuit plus simple.

Une démarche pratique consiste à :

identifier les termes communs ;
appliquer les propriétés fondamentales ;
utiliser les lois de De Morgan lorsque nécessaire ;
factoriser ou développer les expressions ;
vérifier éventuellement l’équivalence avec une table de vérité.

Exemple : Simplifions :

S = A·B + A·¬B

On factorise A :

S = A(B+¬B)

Or B+¬B=1, donc :

S = A·1 = A

Exercice : Simplifier les expressions suivantes :

A+A·B
A·(B+¬B)
A·B + A·¬B
(A+B)·(A+¬B)

Pour chaque expression, préciser la propriété utilisée.

Partie 12 — Application : modélisation d’un problème réel

Cours — Fondements théoriques

L’algèbre de Boole permet de transformer une situation réelle en une fonction logique. La démarche générale est :

identifier les conditions du problème ;
attribuer une variable booléenne à chaque condition ;
traduire les relations entre conditions avec NON, ET et OU ;
obtenir l’expression booléenne ;
construire sa table de vérité ;
simplifier l’expression si possible.

Exemple : Un système de ventilation démarre si la température est élevée (T) ET si le système est activé (A), ou si le mode d’urgence (U) est activé.

V = T·A + U

Cette expression pourra ensuite être transformée en circuit logique dans le chapitre consacré aux portes logiques.

Exercice : Un système d’accès est autorisé si la carte est valide (C) et le code est correct (K), ou si un administrateur active une autorisation spéciale (S).

Écrire la fonction booléenne.
Construire sa table de vérité.
Déterminer dans quels cas l’accès est autorisé.

À retenir : L’algèbre de Boole constitue le langage mathématique de base de la logique numérique. Les variables représentent des états binaires, les opérateurs décrivent les relations logiques et les propriétés permettent de transformer et simplifier les fonctions. Ces notions seront utilisées directement pour étudier les portes logiques et les logigrammes.

Partie 13 — Évaluation : 20 QCM

Consigne : Pour chaque question, sélectionner une seule réponse. À la fin, cliquer sur « Corriger le QCM ». Le résultat est calculé uniquement dans cette page et n’est pas enregistré.